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Show I , b L 18 R 0 Theorema,xiii, Propofitione,xiil. !.! T utte le fuperffcie qe qua! Ii 11oglfa di d11oifolidi,di quali Juno e la P piramigi: di quacro bafe triangolare ~ equilaterc,OC Jaltro c ii cor .. po di f,)tto bafe triangolare ,& equilaterc: to Ire in fie me ( fel .diamo 9"0 de la fphera che li \;irco11fcri11e fara ratio11alc ( componcno fu .. rerficie med/ale, P Erclie fr! dlametro clella fplttra ( che clraonrcrlue luno di quelll duoi ,carpi propofte) farararlonale,o in tonghe:i;za,o !olamentein1potentla!( per el cor relaii!> della decimater;ia propofitione del terzodecimo libro) el lato della py rami~e Cara rationale in potentla: & per el correlario dell a dedma qulnradel medefimo) el lato del medefimo corp9 de otto bafe fara anchora rationale in • potentla, Peria qua! cofa(perla precedente) Ii triangoli che fono bafe de qull corpo ll'uog\ia de queftl duo! ; faranno.fuperficie mediale, & perche Ii triango, II dl'qualfi uoglia de c:iuelli I fono Ira loro equali, tutte le [uperficie cofte inlie• me de qua( fi uoglia de quelllc per la uigefima qufnta deldecimo)faranocom po atQte ~p.e r~~le !ll<dialeifii:ome fi prop1me, Ti\corema.~iii!• Proporitione.xiiii, !!,Seana mederima f phera circonfcriue, ii cecracedron. & lo: otrocc" ' I> ,liron, una de lie bafe dcl tetracedron fara fefquitertia a una de Ile ba fc del occocedron , Et c11rre le bafe dd !ottocedron ( col cc fofierne) a rune le baf«; de! tetr~cedron ( rolte in{ieme) e necc!fario hauere proporponc; fcfq_uialrera, · . <'Ia,a,el dlametrQ de alcuna fphera circ<lnfcrlbeme la pyramide della quale ~ ellato fia c b, & (Qottocedr,m del qnale ellato,fiJ'.c, pico adonque :che el uiingolo equila(ero de! quale el lato fia,b,e [equlftmio al trlangolo equilate• .ro !Iii quale rllaco fia.c.Et che la fuperficle chc componeno, It Otto trlingoll de i:adauno<II quail la;r~e laco e fefquialteraalla fuperfide che componeno Ii qua tro trlan~oli equilateri de cadauno di qualila,b,c laco,Perche ( per el' correlal fio della dedmatcrtia propofitipne <le! rerzodeclmo) e manifeflo ch eel quadra ro della,a,al quadrato della.b.e fi come.6,a, 4, Adonque al contrarlo el,qua, d.rarodelb,~,al quadrato della.a,e,fi cume,4,a,6.Et ( per el corrdarlodella de ~m~ ~ufnt~. c\el !lledc61110) e manifeflo .che el quadrato della,a·.'al quadraco della.c,e fi come.6,a,3.Adonque (peda eq1,1a r,roportionalica)el quadrato del la,b,al quadrato della.c,e ficome,4.a,3,& lo quadrato della,b,alquadcato del la,e,e Ii come el triar.golo equflacero ( delquale el laro e,b,) al trlangolo equi, lacero del quale el lato e ,C:,,Perche da lunQ a lalrro e ficomefa proponione if.tlla,b,alla,c ,'duplkada ( per la'!econda parte della decima ottaua del fello.) Adonque lo crtangQlp equtlatero de! quale el taco e la,b,al criangolo equilace• ro del quale el latQ e la.c,e fi come,4.a.3, Per la q11al cofa e manlfeflo la prfma. p•rte del prqpofito,i:jaU,a qua le fe caua CQidentemente la [ecomja , Perche( per lac9nueefa ptopof!ionalita) lo triangolo equtlatero delquale el lato e la, c•, al ttiangoloequilaterp del'quale ellaro e la.b.fara ficome tre a,quatro, E pero lo ortuplo clel crjangolo eqμilatero de! quale el,lato.la,c,al quadruplo.dH ttiango. lo rquilatero delquale el lacoela,b,e ft come_lo ottuplo \kl ternnlo al quadru plo dcl quaternarlo cioe fi qlme de,z4,a,16. Et porche lo otruplo del triango, loequi!ac.er9 del quale elfato e la,c,e 1u11ele bafe del O!'Ocedron del,qualda. c.c lato1~ IQ q!ladiuplo del trlangolo equllatero de! quale la,b, c laco; e mue le bafc dcua pyramllle del(a quale la,b,c (aro '-°' prrdie la ~IC>fOldone de uemi~ · quatrQ D E C I ~ 0 Q_:JV A R T O Fo, ~uattro a feded e [e(qu'.alcera, feguita cht,lffuperficie,ch~c:!>mPQqt~\':ot11rrti( bafe de! ottocedron de, quale la.c,e lato ~JLi fqprifl ip;~he~lll£1'1l~irμpt fe. bafe della pyramide detla,quale la,b,e lato e ferquialieia lil boine"fij cfeuo lti'fa proportlone. · . · · : t 1 1 ,. ·"' , 11 ' : ,i .l 'i.·, ... ·• • l ""-i Theorerna•,xv,Propolitione.xv, , ,,, ,, , .. rcA.?-'l J \ • •" II •;. ' L' .t:~ h J i'.Hfpl ~ Della pi~amide di quatro ~afe tr(a~go\a~'&e11u.1ia1:ire,;~Mlocara o dentro d1 una fphera, fe daunod1 fuoiango}1 fia condutra u_nalinea rctta, per el cencro de Ila fphera, alla bafa, quella e hecelfano' caf, c~re in el centro de! cerchio che cfrconf~rfoe la ~~fa1 Ile liar.~ perp~ d1.colarme11tc dencro alla medcfima bafa,;. , u' ·• \. j. J S Ia la pyramide,a,b.c.d.dl quatro bafe triangolare a,:. <!Jlarere coUocara dm tro di una fphera , el cencro della qua le fia.f, Et condo Ra che cadauno·dl quarro angoll di qudla pyramide puol elTercono di quella, & cad•urio'dlqu,;, rro triangoli puol elfer b,fa Al prefenre lmaginerno lo angolo,a, folido'df quel• la'elier el cono, & lo rrlangolo.b,c,d,imagfnamo elTer la bafa, Anchor a a quefla ~a:faintcdamo elTerlt'cfrconfcriccoHccrchio,b,c,d.Etda poi dal ponco.a.(el qua le hauemo imag!naco cono della pyramfde) conduce mo all a oar. .~.c.d,m:,a If nea retta,che ttanfi(ca prr el ponto.f ( che e. cenrro del!a fphera che circonfcri• uela pyramfde della quale dffpuramo) & quefta linea occotra alfa fuperfi'cic b.c,d:( la quale hauemoimaglnata bafa della pyramide) fopra el ponro.e.Dico a'donqueche el ponto,e.t centro de! cerchio,b,c,d,& chc la Unea,a.f.e,e perpe dlcolare alla fupcrr.cie,b,c.d.Et per dimollrar queflo produrolc linee,f.b.f.c,f,d, EC pcrche U qu1tro pontl,a,b,c.d.fonoin la foperficie della fp~erafelm\cro de! la qua!e eil ponto,f,) (Per queflo che eglie flare poflo quella-lpliera cfrc9n[cii, ue quefla pyramide )tutte le quatro.linee.f.a,f,b,f.c,f,cl,saranno (ra lorifrqda, le,i1che fono dutte d.t cerrodell, fphera,alla fuperficiedl quel\a,A'doef<jueper· cheli duoi lati,a,f,&,f.b,dd triangolo.a,f,b.fon equali alli duoi fa!f;a.f'.l\:,f.c,det' rrlangolo.a,f,c,& la bafa,a,b.alla bafa,a,c{ Perche,la pyramide fu1jlili!a 1t quila rera) Jangolo,a,f.b.(per la ottaua de! primo )Cara equale a langolo.a,f,c, E pef CCXXX ro ( per la decimatertia del prlmo) aμchora langolo,b.f.e,fara equale a lango, lo,c.f,E perlo meddimo modo tu approuerailangolo.d.f,e,dferrguale al ango ,I lo.c,f,e,Perche eglle necclT,ri ( per la ottaua del prfmo) che langolo,a.f,e.fta ZI, equate al angolo,a,f.d,per la qualcofa (11 la. 13.del primo)anchora langolo;c,f "'"---i-, e.fara equate a langolo.d,f.e,Adonqi Ii trd angoli,b,f,e.c,f.e,d.f,e,lono fra loro eijli:protratte,adonqi Ii Unee,e.b,e,c.ck,e,d,fegufta(per la.4'.dcl primo rolra due uolte) quelle ell'er fra loro cquale,E pero ( per la nona, de! ter:o) el ponto,e,e cenrro clel cerchlo.b,c,d.Ftperche la perpendicolare dutca dal cicro della fphe ra alla fuperficie di qualunquecerchioche feghi, quella,cade [oprael centtodd medefimo cerchio(fi come per le cofe che fono lta pofle di fc:>pra:cjoe come In• rendefli da,quelli antecedeti U quail precedono Immediate la decima di quello) fe conucncc la linea,a.f.e,elfer perpendicolate aUa-fuperficiedel cerchlo,a,b,c, ft come fe propone E!Tendo altramente ( per'lo auerfario) /arannoduol ccntrl del mcdeftmo cerchfo la qualcofa la natura fi come lmpofilbile nol patille, ti: Theorema.xvi.Propolirione.xvi, ~ El folido de otto bafe rrfangolare, & c:quilacere,el q11ale·;r.a drc~n 0 fcritro di alcunaf phc:ra,c diuifibile in due piral!lidc eq11almente alrc laa,ltczza dellc quale e equalc almez.:o.diamerro della fphera, Et |