Evclide Megarense philosopho, solo introdvttore delle scientie mathematice

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k _____ ...,.._ __•_ _ st .& - -i6 --.- --- ;, ·--. d --II -' r a -L -11 BR. 0 mcrl prim) fonoinlinill(c6t l! la,1,. del•9. fa d!mofrrar ii )e necetl'a,io k f pecit dellc\llleemedlaleeflerlpfi1'11e, ,:tilllo che edmodella line a mediate (uteude delbinomio cc d~llc (11c dnq~e com~agne ;ei delre~du<> etdelle 'Cue cinque Perchelicome 06<11Uneaco,mnu111c,i1Ct a(la medlali:,e mediale ouero cum, munlchl a qaclla in long!tena ouer in porenrla come e pr-,uato(ln la vfgcfoua qulnta):oli erlam ogni Unea coiμmunicanre al blnomlo ouero ad alcuna del, le Cue cinque co111pagneouer etlam al reliduo ouer ad alcuna delle fue clnque compagneln longhe.;zaouer In potenda e fotto la n\edefima fpeciecou (ego ( come IU proua~o In lafexagefima qulnra °' in le quamo che (cgui!a drio a quel la8dnla,103,(ll mlequamochefeguluno queUaJadonque le lpecicdi que!le uedcg: Une~ irntiomite Cono infinite dclle quak muna conuicne con la prew deme in ordme,ouer in dilfinltlone,anchora per unaltro modo le fpecie de Ile Ii nteirr~donale d1fferentemc1Jteconuiengo110 etTer infinite perche ogni lato cc< uagomco de una (uperlicle detta da uno numero non quadraco e irracionale(Q la Ultima putedella non a & per le ditftultione)condolia adonque che tali nu i men fiano mfinld,anchora le fpecie di quefre linee irradonale feranno infinite. :rerio modo ,~uo auenirela {econda pa rte da quefla conclufione ell er ifpofia coli come Ce !101 digan!o dacada_una UtJeuatlonale folamente in potenrla ctTcr produtto lniinlte ipectede Unee 1rranonalc delle quale niuna e polTibile conuei n1re in dilfmitioneo.:ordinecon alcuna dequelleche precederanno quclla,ver bl graaa,lia tolta alcuna fuperflcie;tadonale dma ouer nominara da uno nume ~o non quadrato( come feria a dir da cinq),& lo lato tetragonlco de qudla (era 1rradonale in longhezza,perche quello cincommenfurablle al lato tccragonv co de una fupetlici< rationale dcttaJ ouer norumara da vno numero quadrato (per la vlrlma pane delta non a propolirioue dico adonqu~ cheel laro de quei Ito laro & finnlnicnre lo la10 del fecondo laro, & vn_alcra vo[ta el laro di qucllo ter:zo laro,&coit m lnflnno fono linoe irrarionale Ii in longhezzacome in poten ria,8' che niuna d1 quelle conuien In d1tfmllione ouer h1 lpccie con alcuna chc habbia preceduto quella in ordine,& lo laro retragouico de ciafcuna preceden tefuperticie laqualefera detta da UI\O numero non quadtato e Ii come radicee prlnclpio de.tune le altre,& quala fi voglia de quelle e princlplo de tutte quelle che fegu1tmo quell~ (ll tutte quelle.lmee kquale vengouo da alcuno lato tetra, gonico de·cia{cuna de tale fuperficle.fono d1uerfe in longheua, & in potenria da tutte quelle che fono generate da alcunoaltro laro rcrragonico di ta! fuperfi de,& quelto dico quando la proportione de quelte fu petficte non fer. fi come de numero quadtato a uumero quadrato,& accioche di quelb polliamorecco gllerc la ferma demollrarione el bifogna mandare auanrl a queUa uno antcce• deme &-Ila qudlo, ' Se a!cu~a quantit~ ~a produrr~ da due quanrira dutte l'una in l'aJ,. ua1h lat1 teuagowc1 de lie dem due quancica di:n.ci in l'uno in· l'a(; cro produccr~~o cucco el lato ~ecragonico di quclprimo ,pducco. i TErbl grada ponlamo che dal.~.ln.b,lia produtto.k,& che, C, &, d, liano Ii I V , t,d tetra~pici de,a,&.b,8' dal,c.ln,d,lia fatto,e,& da nuouo.f,&.g,fiano U ladteuagomci de,c,&,d,8' daU,in.g,ilalatto,h,dico che. h, e ellato tmago: nloode,e,l!i: f11Tillmenre:c.e el lato,tetragonlco de;K,perche con c!olia che.c.&,h, . fianQfatd dal,f,ln(e medcfimo,et in,g,f~ra dal;c,al,h,fi come dal,f,al, g. er coff daLh.al,d,ft come dal,f,al,g,llnperoche dal, g, ln,f,& in Ce medelimo vkn fan( h,et.d,adonque,~h.d,Co~o cQnrinuamence proportlooall, adonque canto c el produuo de).h,ln fe mcde~o quanta quello dd,c,in,d. perlaqualcola,h,e el.la to itu,gonico de,e.anchora per la ruedclima ragione conciofia chc dal.c, in (e lllCdcfiaa~ fia fa~a.et ln,ct.,lia fauo.~ cla!,d,ln Celia fatto, b, feranno ediim a.e.b, F o, '. u :b,eontlnuamente prOP,oitlonali ln (a pro'~ortlone che e dal,t;;al, dl.conc!o, , fi• adonque che dal,a,in,b,ila farto,k, feguira etiamch·e dal, c, in ff'"t11eddlmo CXCII Ila fatlo,k.perlaquakora.e,e el lato tetragonJco de,k;adonqie·manlfefro,lll pro, polito,Relta adonque a dimoltrare queho che fu propo!to, fia adonque la (Ulll ficle,a,ratlonale detca da v110 numeroche non fia quadrato( <:_ome;s ,)Iii: lia.I.11, nea,a,el laro terragonlcodi•quella& fiano tolre quan<e Unee it voglian rarionu le in longhena lequale liano,IY.c,d.e,& Gano dette da numeri di quail clafcun 1:recedente iia el lato cerragonico del prollimo Cequente,come (e,b,li.a,duoi el.c, ·11a quattro tl,d.fedect & lo.e,ducentoclnquanta'fri & a quefre lineerarlonaleln longh<zza lia agglontouna fiiperficieeq<1M&alia,a:x-ll fecondi lati di cadauna ferauno c;.alio~all m longl\ezza(per la vigelim:i]coineclo fecondo lato della.b~e duol e mezzo lo fecondo della,c,e 'vno e uno quarco. &lo fecondo della. d;e vno euo qcam>evnofedefelimO(ci!)e uc:i eclnque!edefellrni)& lofecondolatodel1 la Cuperficte, e, feta vno, 64-elim'o t!i: uno ,2s6,eflmo, ( cloe lnfumma cln que, 2s6·.efiml) Ila adonqu·bf.lo Lato tetra'gonico !felfa,b,&la,g.ilael lato terra ganicodel fecondo la to d<lla· defta/uperRcte,b.&(lpet to premelTo antecedete) lera che dal.f,ln,g,ua fatto.a,vnaltra volta [i:i fa.h.lo )ato 1e1ragonlco del leco1 'do lato ddla fuperlici<,c,& ua ~bchora,K,el lato mugonico de.h.& per lo pre detto antecedence [era che dal,b,ln:h,lia fatto.ai& dal',r,in, K, lia fatto ellaro tel tragonlco de,a,)qu.I_ fia.l,lia da, tecauo, m·,.10 lato tetragonico del (econdo laro della fnperficie,d.& quandoclle,n,ffa el latomragonlco de,m, &. p, el latQtcl ( tragonico de.n.&(11 lo predertoailtecedete)ferache'dJt.c,in,m,fia fatto,a,& dal ,b.in,n,fia fatto,l,ix dal,Nn;ii,fia fatto el lato tetragonlco de.I, (qua! fia,q,) ma plu lia.r,el Jato tetragonico-deV(econdo laro delta fuperficie,e.anchora iia,s,lo lato tetragonico de,r ,&,t,.lo lato :retragonlco de,s, &,;u, lia lo lato tetragonico de,t,& feguna(pet lo dmo antecedente)che oal,d,in,r.lia Catto.a.& dal.c. in, s, ua fatto,l,& dal,b,ln,t,fia_fatto,<f,&,etiam dal,f,in,u,fia facto el lato mragonico de.q.(qual lia.x,)& cou in lnfinito,Dito adonque quelte linee,a,l,q,x(d<Llequa le la.,a,e come radical prindpi9)_effer iitatiOQale la,a, folamente in longhezu, rune le altre In longhezza & lojxffi,ntia,& dico cheniuna dlquelle.conuimcon alcuna altra In dilfu1itlont oU&<lri•ordlne,perche conciolia che daLf.in,g.&,K.: vengono fatti,a.&,1,fera ~al.a,al,t.fi come dal,g,al,K,& perche( come e mania:# \1 Ro dalli dem prefuppoffn).g.&,k,fono incommen(urabiU in longhe:;:za & in~ ,, renua,fegu1ra edam che.a,6:,l,fiano lricommen(urablll in longhez:a & in po ten Jia & per la med<lima ragione ftlam,a.&,q,perche dal.a,al,q.e fi come dal,g,al p.& per la medelima caufa etlam;a,&,,c,conciolia clfe llano ii come,:g, l,(. !I; & 1 per ~~efra viaanchora e neceffa_ri~fhe1t,&.q. fiano fimilmente incommeptilraf' b11i ii m pocentla quanto in longhr:::zt,perche concloila che dal,f,ln,K.&-p,lfia• · no fatrl,l,6',q,fera del,l-~l.q,cocrle del,&.at.p'.ma.k.e, p,non fono con,miemuraf' bili in longhezza ne in potentfa.perche ellerido commenfurabil1,h.&,nJl«f.(no ! b ,. commen(urabili,& non (ono,anchora;l.(ll·,x.e neceifarjo eller lncommenfurabil ' "I Ii In l'uno e l•a!tro modo per'ihe ~:\.!it.x.e ficome'cfal:k';a\,u,imper'or.l\edal{f•, /. ln,K,&,u,fo,1ofatti,l,&,,c,6',k.&.u.fono incommenfurabile In luno'e·laltrel'in'of do,perche ponendo chefutTm'oper l'adlierfario {eguiria,t,°',li;etfel:J:lilii!tteilfa ' rabJliche e inconueniente. ~ ·1 • ,!Ln . .l.:. -•Ji ".i..l:::> - t;nv :, - Ml che,q.&,x,liano anchora in'~ommenliirabjll Id pS{etia & In, ionghez~a da qllefto e maolfefto ch.edal,q,it,k,e Ii come da1,11; al.'1,/l( e manifetto che!~i&,u\ • {0110 lncommenfur, b1U,pe~chcfe n~n f<?.no;ri. (%, 1; fer'a:i\n£ ~~me1,ififr\iblll e• ~f pero et1a111,m, &,s.8' non ('?n_p;~dpq!l\le e manlf,~~o dallfiin~\,a,ra~o~~lc?fola. ~ 11-•enre in eotcntla efl'et pro<til~ lnfiillie Unee irraifo ohi~ei\(urabik fnJ lon~he;:i;a 1%111 pi,:eo'tia e per!SJt(am differ eme (Ii·' ' ie' e iiifp,ede',i,\a al prefente ne ·retta a d[mo{frate che'tutt'e le linee i ' he 11ano ~ , re pe tquefta vla·da alct1ma U~e~.filionate.(cil;1,,1μepte in _p_oten1'3fono diuerft Ii inlonisezza come inporeil:i clardttequtlle'lt quiff!lf.i!!-''gentm e perquefra', "! vii~ lll~flf~~\l i~~f!~ll~-~1,~~}iJm1 cap~z!:~~f~\°!i1~if.~If-1i"q;~~0 t ~1 ~1~"r 'hr ¢1'":!1 ~r ~ ,~1 ~i . ,.;.