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Show ---- b ; " lIBR.O linu,b,m,e rationale In longhe::a. Adonque ( per fa ulrima parte della nona deJ declmo) la linea,m,k,e rationale folamente in potentia & perche la lfnea,b. m.e piu potente della linea,m,K,in el quadrato duna linea a fe cemmenfurabil le in longhezza ( come difotto fe approueca) la linea.b. K,fara 'refi duo quarto (per.la d1ffini1ione det quartorefiduo,Hor quello che dlfopra pronierteiTlmo di prouare in queftomodo fe manifefta fia el numero,r,quincuplo al numero.s,O.: ,r,&.s. fiano quato,r,& (e,r.fulTe cinque.,.forla uno &, r.qnatro,Et fia la Hnea.b m,piu potente detla linea,m,K,ln el quadrato della linea,x.Conciofia adanq,,c cheil quadrato dellallnea.b,m.alquadrato deila lfnea,m,k.fia Ii come el nume ro,r.al nurnero,s,( per la difg!oma proportionalita Io qu•drato de lalinea,b,m alquadrato della llnea,x,fara Ii co111e el numero.r.al numrro.t,perla qua! cofa (per la ultima pane della non a de! dec!mo) la linea.x.e incommenfurabile;a la. linea,b,m,ln loghezza,Adoqinon edubblo che la linca,b.k, /ia refidue qrco: & c manifcfto) per la trigefimaquinta del rerzo) che quello che uien fatto dalla b,K,in la,k.g.eequalea quelloche uien fatto dalia.n.K.io la,K,c . E pero etlan> quel medefimo e equale al quadrato del!a,K.c.lmpero che la,a.K,e equ1le alla. k,c,adonque agiunto a lune & laltroloquaduro della.b.K, < per I• penulrinu del prime) qucllocheulen fatto dalla,b.k,in Ce medetlma & 1n la.K.g.f,r• equ"' le al quadratodella,b.c,Et perchec per la prlma de! fecondO),quello che uim fatto dalla,b,K,in fe & in la.K,g.e equale a quello chc uien fatto della.b,K,in.la.g b,la llnca,b,c,fara ii lato tetragonico della fuperficie co111cnuta dalle due linre g.b.&,k.b,& perche la linea g.b.erationale:.lt la liuea.b.h e reliduo quarto, it perche la linea potenrein una fuperficiecontenuta da una linea rationale e da uno reliduo quarto,c Unea m!nore: <come e manifeflo > ll la nonagefima quar• ta del decimo !!bro> e necelTar!o la linq,b,c,( che ii lato de! penth ago no equila eroinfcritto in el propoftocerch!o) efler lalinea minore,che in principle fu .P' pofto da demoflrare:Adonque per quefto modo leguita chc ii late del penrh .. gone equllatero infcritto in uno ccrchio fia una 1 inea minore,fel diametro del cerchio Cal qnale era infcritto > fara rationale in longhezza.Et fe'il diam model cerchio fara rarionalefolamenre in potentia,anchora e ncce/Iario che ii laro del penthagono equilatero infcrittoin q_uello fia la line~ mi,tore. Perche p~n! che ta [inea,a,b,lla rationale folamente m potent!a, fopra la quale fia defcrmo utl cerchio,& a quello fia infcrltro uno penrhagono equilatero del qua le uno lato fia,la,b,c,& lo cerchio & lo penthagonofian dmi.a.b.Dlco che la l!nea.b,c.c Ii nea mlnore,perche elfendotolro alcunal!nea ratlo1ialc in longhezza c la qual fia,d,e,&fopra aquella fia lineado uno cerchio,al qualc fia infcritto uno penrha gone equilatero,& fia uno hto di quellc. la linea-e.f. 0.: el cer.:hio ix lo pemha, gono fian detti,d,e,Adonque emanifeflo c per qudta duodecima) che la.e.f.e Unea rnlnore:concio fia che lo dlametro,d.e,fia rationale in longhez:a , & pcrl che la proportlone de! penrhagono.i,b,al pe11thagono.d.e.e fi come el quadri 10 della llnea,b,c.al quadrato della linea.e,f,Perche luna e laltra ( per la feconda parre delta decimanona delfeflo) e fi come quelb della llnea.b.c,alla iinea.e, f,duppllcada.Etdel penthagono,a,b,al penthagono.d,e,e fi come del quad,·a 10 del diametro,a,b, al quadraro. de! diamerro,d.e, (per la prim a de! duodcw mo) Iara cper la undecima del qu!nto) lo quadrato delta linea.c,b,al quadrai aodella linea,e,f,fi comolo quadrato dddfamctro.a.b.•l quadrato de\ diame• uo,d,t,Etconc!o fia che II quadratl di duo! d!amerri,a,b.&.d.e.liano comnulni cand,perche amblduol fono rationali ( dal pfupolito > Anchora ( per la prfma panedelladeclmaquartadel decimo)ll quadratidelle due linee.,b,c,&,e,f.fa, nnno co~111unica1Uf,adonque la llnea,b,c,communica in potentia con la Ii• 11ea,e,f ,& perche la llnea,e,f, e linea minore fegulta ( per la cemclima qui ilia dddedmo)che etiam la,b,c.fialinea m!nore,che e_il propofito, adonque o Ila el dlamctto di alcun cerchio rationale In [onghez:ta ouer lolamente( in pom11ia e 11ccdfarlo cheil lato del l)enthagono ( in(critto in qucllo > Ila la linea minor<~ · I( Tradottore, D E C I M O T· E R .T I 0 Fo, CCXV It Tradottore, · · BI fogna ncitareche quena parreadutta ·& approbata in line del commen, ' :, .. rat~l'l': Ce uerifica meqcfi.ma!Jlente nclla primaargumentarlonc,cloe fupro. nendo ,l d,anrerro (· largo mode) rarionalr,o fia In longhcz:a., ofolamerire Ill, potenria (?che coli fi debbe fmcndrela propofirione)feconcludera ll .ppofito, , Pr.oblema primo.Propofidone,xiiii !1 Po(fc~o fobri care una piramide di quatro bafe triangolare equi.1 • J lacere circonfcriccibiJe. da una affignata -fphera.Etdimollrare che ii diamecro di quella fphera hauere propottione fefquialtera po.1 tentia l meute al lato di elTa piramide . S Ia la linea.a.b.el diametro delta. afTignm rphera la qua le fia di Jifa In pen• 1.0.c, tJl;nente che la.a,c.fia doppla.a!la.b,c.& fopra quella fia lin,ado lo {el mlcerchio,a,d,b.& fia produtta la linea.c.d.orrhogonalmrnte fopra la Unea.a,b & /i1no pn,?utte le linee.b,d.&-d,a.eda poi Ila. fano el cerchlo,f.g.h,fopra ii c! tro,e.elfem1Jiametro di! quale JJa equale alla lmea.c,d,ln el quafe ( per la feco da de! quarto) Ila lnfcritto un trfangoloequilatcro el quale.fia.f.g.h.alli ango, Ii di! qua le ( dalcentro) llano protratte le. liner,e,f,e,g.e,h.e da poi fopr.11 ce ' rro.e.( fecondo che infegna la duodecima def undecimo) fia erigara la llnea,t, k,perpelldicolarn1<nte a la fuperficie def cerchio,f.g.h.la quale Ila pofta equate all,,a,.,,Et dal ponto.k.liano tirate le ypothumiffe.k.f.k,g.k.h .. & fara ~m~ita_ la pyramide di quatro bafe triangolareequllatere,l• qua le, d1co eRer c1rcon!cr111 1ibile dalla a/Iionata fpher•, etiam dice el quadrno del diametro. della ptopo, fta fphera elTe~ fe[quial1cro al quadraro faro della dma fabrlcata pyramide , perche eglie manifello ( i:erla pr!ma parte de! correlarfo dellaorraua de! fe, · fto )che la linea c.d.e media propomonale fra la.a.c.& la.c,b, per la qua\ .tofa perelcorrelario' dell a. 15.del medetlmo)el qdrat0dell.:i linr_a,a.c~lqdrato de la linca,e,d.e r, come la linea , a.c.alla,c.b.adonqi cong1otamc1elo qdrato dalla,a c,&lo quaarato detla.c,d.al quadraro ddla,c,d.e Ii come la,asb,alla,b.c. E pero (ptr la penultimadel pnmo) el quadratodella,a.d,alquadraro della,d.c. fara ft come la,a,b,all•,b.c,Concio fia adonqne che la'linea,a.b,lia treppladla.b.c. (perche ta.a.c.eradoppla a quella) anc~ora lo quadraro della,a,d, fara trep, pio al quadraro deila,d,c.& (11 la omua d1 quefto ) lo quadrato della,f.g,e trep pi> al quadrato della,e,f,Per la qua! cofa condo Ila che( dal prcfuppoliro) I• linca,d.c,fia equate alla,e,f.( per communa Ccientia) la,a,d,fara equale.alla,f,g Et perche ( per la difflnilione delta llnea perp•ndicolare a una lupcrfic1e) la fl nea.e,K.contiene angoll r_ertl con cadauna~dellelh\ee,e.f,e,g,e,h,~elle q_O•!e ca dauna e equalc alla linea.c.d,& perche quclla·medefima e equale all:,, lin~a,a, c.& langolo.c.e retro ( per laquarra del prim~) cada.una delle tre liriet,k.f.k,g K.h,lara equate alla lin,ea,a.d,Adonque e 111amfefto la-fabricata pyr~ntlde cffrr di quatro bafe rr!aogolare equilatere,Ma ch,e ·qurlla Ila clrconfctitnblle ~alla aff/gnara fphera rulbaue{al in qu.efto mode.Sia. intrfo ~Ila llnra.e.~,elTerul agl glonto fecondo larettill\cfne ~ l~ltqea,e,l.eq_qale-alla hnea,c.b.ace10 cherurra la,KJ,flat uale alla.~.b .• CG~.~ eil diametro aella amgnata fph,era? Dlco,che, .' qu, fta Une~.eJ.tu la imaginaral t!Ter fono al cerchio,f,g,h.etlam J)erprndicola• \ re alla(fu erficiecli quellodalla partr dlfotto: fl come e la,e,k, ilalla-pane~ . (opra. Et ~adauna delle rre lli!ee,e,f,e,g,e.h.(Et, lio,f:llcemente qual~qu~ fe, mldlamerro del cerchlo,f.g,h,) Iara.media propomonale fra la,K,~,& la,~,l,li.,., a>me c la,d.c,fra Ia,a;c &la,c,b,PetchequeftHono rqualca quellr(cadauna &{! ~ b < • b ·- |