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Show I l'i. · !, .. ,,,,...,-' .., .t 1 13 RO· tlcentrodella (phera, & le pyra,uide ( ddlc qua le le ba(e fono Ii rrfan1?off def ycoccdron: & Ii coni diquellelono litnilmenteel cemro della fphera j fono e~ qualmente alre cperche le perpendicolari che cafcano dalli coni alle bafe: mi• fur.ano ouerdcrerminauo ta·alte:za de tutte le pyramlde. & le pyramide equal mente alte e necelfario elfcr pro portion ale a He foe bafe ( Ii come in la fella dd duodeclmoefrato.prouado (Adonque laproponione della pyramidc della quale L, bafa e uu pethagono de! dodccedron )alla pyramide de Ila quale la ba Ca e uno d!rriangolidel ycocedron ,e Ii come dd'penrhagonoal trlangolo.E r ero ( per la uigefima quarta propolit!one de! quinto libro) la proponione del dodccuplo di quella pyramide, della quale lo bafa e uno dl penthagoni de!' do decedron: alla pyramide della quakfa-bala e uno di tria~goli del ycocedro • e . Ii come de! dodecuplo di quel penthagono a quefto rriangolo, a: quelle dodecl pyramide de lie quale le bafe (ono Ii dodecl penthagoni de\ dodecedro11 (ono tanto quanro tutto el.corpo di efTo dodecedron, Et Ii dodecl penthagoni ranto quanro rutte le fuperficle di quello, A~o11que la prol'lorrionc de! c->rpo del do• decedron alla pyramide della quale la bafa eu11 triangolo de! ycocedron: e Ii come la proportione di tu rte le fuperficie de! dodecedron al triangolo dd yco, cedron, Per la qua! cofa(unaltra uolta per la uigefima quarra propolitio11c def qulnto libro) la proportione del corpodel dodecedr,>n al uintuplo di quel!a pyramide della quale la bafa e un ttiangolo de! ycocedron. e fi come de tuttc le fuperficle de! dodecedron al uinruplo del triangolo de! ycocedron ,:Condo fi:t adonque chc el ulntuplo di quella pyrarnide, fia tanto quanto tutto el cor, po del ycocedron, & ii uintuplo di quefto triangolo Ii come tutre I, {uperficle di quel ycocedron , La proporrlone de! corpo del dodecedron Jal corpo de! <ycocedron, Ii guali circoncluda ima medefima fphera ) Cara ti come la propor llonedi rune lefilperficiedelcorpo,del dodecedroo tolte infieme a tutte le ful perlicie de!corpo de! ycocedron_ tolte infieme, Et qu_ello e la fi!Ta fenrentia a: la fertna e fohda demonllrauone dt prcderti phtlofopht della proportione di gue fii duoi corpl. Alla quale anchora eglie daefTer agionto quello, Et coucio Ii, che la proportione de! lato del cubo al laro del tria11golo de! corpo de! ycoce• ·da'on (quando cheinfieme lian circoncluli da una medelima fphera )Ila fi co, me· la proponione de tutte le fuperficie del ~orpo de! dodecedron tolce inliemc a rutte, le fuperficie di quel yco~edroQ iQclufi in la medelima fphera ( fi come fu dlmollrado in la ottaua propofitione di quetlo )la proportione de! corpo dd dodecedron a( corpodel ycocedro ( che_una m_cdefima fphera drconuolue }fa ra ( per la undecima propofitione-delqulnro hbro) Ii come la proportione drl lato gel cubo ( infcrittibile a,quella medefima [phera) al laro de! triangolo di quel ycocedron , Ma pi~ • perc_h~ diuifa ( qua( Ii uoglia linca) fecondo la pro porrione.hauenteilmez:oe duoi lllreml. La proportione dellalinea porenre Copra la tuna 6: la maggior partedi quell• , allalinea potenre fopra la rutra 6: la 111inor parte diiquella, e Ii come de! 1110 de.I cubo infcritco in alcu·na fphera: al lato de! triangolo de! corpo de! ycocedron circ<>nfcritto dalla rnedelirna fphe ra( Ii comefu dimoflrado dallanona propolitione di quefto) Eriasu ( per la undeclma propofitione'del quinto) fara che diuifa qualunque line> fecondo la proporrione ha,ueme ii mezzo e d_u~i iilremi, la proportione della linea po, tence fopra la rutta& la rnaggior parttdi quella, alb. linea potenre fopra la tut la 6: la minor patte diquella, fia·li come la proportione del corpodel dodece droh al corpo de! ycocedron, It qua Ii una rnedefima fphera licirconfcriua aml bidμi, Adonque dallecofe dettc e m~nifello,che la ptoporcione ctel l,to del cu bo inkrltto in atcuna fphera , al lato de! rriangolo de! ycocedron dalla .rnede• ma fphera clrconfcritto , Similmente la proporrione de rutte le fuptrficie de! dodecedron, a tutte le fuperficie de! ycocedron (Ji quali lianoatttbidui circon laiui da una medefimafpheraD Anchora la proportione della Jinei potenrefo pra qua! Ii uoglla linea diulfa (econ do la proportione haueote ii mezzo, &duo! lftrcQli:6:{opra la.magglor parie di quella:alla Unea potcnte fopra la mede• , . .. ~& DECIMOQ_VARTO Fo. ftma & fopra la rninor'parte di quell a, & fimilme111e :inchora la proporrione del corpo de! dodecedron al corpo de! ycocedron( li qua Ii circon[criua una me defima fphera? e una medefima proport!one. Adonque e mirabile la polTan• · za della linea d1u1fa fecondo la proportione hauenre It mezzo e duo! illremi al• la quale c~ncl~ lia che tutra la_moltirudine de phllofophanrl conuiengon~ iai quello prmc1p10 degnodiadnuratione, ouer el principio precede dalla natura inuariabiledelliprindp!ifuper!oci, che Ii diuerfi folidi Ii de grandeu_a _come : de numero di bafe, Ii euam de ngura , concord I racionabilmente una.lrrotio, nal concordantia: certamente eglie llato dimotlrado, che la proportion( del corpo del dodecedron al corpo ycocedron ( che circonfcriua una, rnedefima f~hera) e fi come la proporrione dell~linea potente fopra qualunche linea dl, u1fa fecondo la propomone hauente tl mezzo eduoiitlremi ,& (oprala magi gior parte di qudla, a qualunque lmea potente fopra la medelima 1 & la mil, nor parte di quella. Et perche de lialtri rre corpi regolarh non hauemo deno cofa alcun,, Studfamo di dire qualche cofa de quelli, · Theorema, J<i, Propo!icio'ni:,xi, E In ogni triangolo cquilatero, fe da uno di fuoi angoli fia condurra, o· una perpend,colare alla bafa, el lato de! medclimo criangolo con., uien cffer fefquicercio io potcncia a e!Ia perpendicolarc, G CCXXIX Siad triangolo.a,b,c,equilatero, & dalangolota,fia condutta la linea, a,d, perpcndicolare alla bafa.b. c. Dico che lo lato,a.b, e porentlalmente fr/qui# · tm:palla,a.d,Prrche (per la quinta del primo) ll duoi aogoli,b,&c.Con o.equa Ii, ti: perche liang"li chefono al,d.fono rerri ( perla uigelima frtla de( P,nmo) la linea,b.c.e ciiuifa !11 due pmi equal! in ponco.d,Adonque( per la qua'rra del fecondo ) lo quadraro dell,,b,c,e quadruplo al quadrato del\a,b,d., E pero erla lo quadrato deUa.a,b,e quadruplo al quadrato ddla.b,d,(perche el ttiarigolo.e ·equilacero) pee la qua1 cofa ( per 13-penulrima propofitionedel prlmo) Ii qμiif drari de lie due linee,a,d,&,b.d,tolti infieme, f ono qua<:Irupll al quadr'aco della b.d.Adonquefo quadraro del!a,a,d,e rreppio al q11a'dr~1o·de!la,li:d• Adonque e manifefto ii p ropoflro, Theorema,xii. Propolitione.xii, !: La fuperfii:ie'de ogni triangolo cqui!atero; dcl quale el lato C ra .. O tionale l feapproua elfer mediale, ' SI a come prlma dtrlangolo.a,b,c.equllatero·, & fo lato,a,b,di quello lia h• rlonalcouec in longhezza ouer folamente in potentla, Dico adonque chc elfo ttfan·golo, e fuperficie mediale, Perche (e fia dutta dal angolo,a,la perpen dicolare,a,d, alla bafa (per la prectdente·, & per fa (db def dedmo1 5c per la dlffinirione della fuperncle rationale) lo quadrato della linea,a,dJara rarional le a: fa linea,a.d.fara rationale in porentfa, 6: quella ( per la ultlma p•~t dtlla nona de! decimo,mediante la_precedente) Iara lncomrnenfurabile alla linea.a, b.E pero etiam ,alla linea.b.d.( la quale e fi come la mita di qudla) Adonquc le due linee,a,d.6:.b,d.fonorationale commuo!cante folamente potcn~f!t,en re. Adimque ( per la ulgelimaterria iiel declmo) la fuperRdediluna dl quelle In lalrra e ·t;nediale, Er conci~fia chela_fuperficie/diluna dlquelle in lallq1 lia cquale al rdangolo,a,b,c.egUe_ mani.kfto dlcr ii 11ao qncllo chc hallCIIID dmo, • |