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Show l I n t~· a _ f_ .!..!_ 6 l!I r, 1.""'I .B ll O , n 1ii,longhe:z;:z;a ptrchc conciolia: chc la propor1iont dcl,c,al,d,lia Ii com~ quell a chc e dal.a.al,b.dupllcala(prr la drcima 011aua dd fefto )&dal.g, aJ. h, (per la vndtcima del orrauo )lia Ii come quella del,t.al,f.duplicara , perlaqualcofa an1 .chora la lernpia del,a.al,b.fera fi comt la fempia del.r .al,f,(per la ldla)adonqi It due lin«,a.&. b,{ono communicante che e ii fecondo propolito, El rerzo {e manifefta dal kcondo eer la deftruftione del confequenre,Similmenred quar roe manitetto dal primo pur dalla ddlru11lone del con(equente,& nora :he dal la quartaparte diquella e manifello eldiamc1rodi cadmn quadraro eller in< commenfurabik alla fua coll_~, perche conciofiache ii quadrarodeldiamerro fta doppio al quadraro dell a fua co!h,& la propor1ione doppia non fia II come ,de numerl quadrad fegui1a el diametro elTer incommenfurabile alla co(b in Ion ghezza.Al1ramente conciofia che el quarernarlo lia numero quadrato iurti Ii nun,eri eqlmente pari feriano quadrati & a Itri infinlti liquali no fono quadrarl . Et Arillottic primo priorum duce a quello inconuenienre, che fel diame1ro fia poilo eller commen(urabile all a colla,che'l numrro di(paro fe,ra equate al paro iaqualcofa coli e manifefta,perche elTendo el diame1ro,a,b, commen(urabile ai laro,a',c,(per la quinra)etiam,a,b,al.a,c,(rra Ii come alcun numero a vn al,;o. Sian adonqutque!li 11unieri,e.&.f.liquali liano Ii minimi In la fua proportione, & per queilo l'uno di loro fer a difparo perche ellmdo l'uno e l'alrro paro non frranno Ii ml:1imi m la fua proporrione anchora lia Ii q,uadmi d1quelli. g. &. h.adonque fe,e,e di!paro anchora(per lairigelima del nono ).g.fera difparo,fla adonque,k.doppioal.h.&(per.la diffinitione),K,[era paro perchc adonque.a, b,a l,a,c,e come,e,al,f,(per la decima orraua del fdlo & per la vndcdma delo1, tauo )elquadraro del.a,b,il qu.ildmo del,a,c.!rra C<?me :i~l.g.al,h, adonque, g, e doppio al,h,perche coli e ii qua'dra10 de.a,b.al quadraro de,a.c.(per la penul ,dma del prifUo)& pe~che eilam.K,e doppio a\.h,(eguita(per la oona delquln1 ro)che.g.numeto difparofta equale a\,K,oumero paro Ma fe, e. lia pollo paro &,f,difparo 1£proportionc de,f,aila mi1a de.c,laqual lia,1.fcra fa'come deb .c,al lamiia de,a,b,laquale fia,a.d,e perola proportionedelquadrato de.a.c,alqua 9~uo de.a.d,~ra ti cqme la proponione. dei numero.h.dquale e difparo per ta trtgeilma dd nono al quadraco del numero.1.elqual fla.m. alqual. K, fia pofio tffer el doppio,dqual.K.(per la d1ffinitione ) fer a paro,& perche el quadrato di a.c.e doppio al quadraro di,a,d,( pcr la penu(rimaqel prin10 )lo numero,h.fera doppio Jil·l)lJ!llCro,111.& ,o,1ciolia che el numeio, K, Ila anchor• lul doppio al rμedelimo numero,m.(per la nona del quinto )lo numero.h.numero difparo [ef r.a equ.Ie al numero;K,nun1e, o paro che eil propofito, ' II Tradorrore, Q 'Vdla vltima parieche fe dimollra,cloeche'I diamerro del quadrato fia incommenfurabile alla colla in la feconda tradonione fe dim(l{lra in l'ul dma di quefto decimo come al fuo loco ti potra vedrrc, Cprrclario •. a Etd~ q~c:nc:co(ed1monratecglie manifcllo che le linec: com mm ; Ci,ar;abilc:i1,1 longhezzanfCC1fariamentefono commenfurab1le an~ ,hora in p9~entia,OC. quelle che fono C!)m~enfurab1le m porenr,~· non fono nc:ceffariamc:nte commenfurabile m longhezza,perche Ii «l\l,\itati d,;llc linec: reitc commenfurabile in longhez:z:a ban no.fa p,i,p~mi;one come da numero qu~dratoa numer quadraco,& qud leqgantitache ha_.nno I~ pr!)pornone come de numero a numero, per l2(c:llade quello dc:c~mo,lono ~omm,nf1na~.1h, perlaqua, !co(~ • le I nee . DEC IM 0 .' Fo: le lince retrecom~nfu~bile,non fofamente fonacbmmenfurabile in longhezza: ma et1am m pot~ntia, Ancnora percbe ,tlltti Ii quadraci r. che fra loro ha~no propornone come: 4e numero quadr:ito 3 na., · ~ero qudrato e Claro d,mollrato come Ii laci fono com~enfurabili an looghezza,& 10 pot~nna,cociofia che Ii quadrati habl:liano qud, la proportlO~e come d~ n?mer? quadraco a numeroqulfdraro, ado que ogm duo, ~uadrac,, hquah non hal)no proporcione come nu .. · anero quadraro· a numero quadraco.ma fimplicemence come al cull' altro num~ro a numero,eff, quadrati fono commeofui:abili,cioe efli · rm~ l1Pee'-..dalle quale fono defcricti)fono c~mmenfurabile in po.. ten11a ma no m lon&h~z:z:a,perlaqualcofa le lmee commenfurabilc 1n longhez:z;a neceHanamenre fono etiam commeofurabilein potcn r,a , ma quelle cbefono commenfurabile in potentia none necdTa.. rio effer commenfurabi[e in longhez:z;a 1 fal~o re' non feranno come uutnero quadrato a numero quadr~to e,per tanto gico chequeile lrnce lequale fo~o 1Pcommenfurabile in longhezza DOI! e oecdJa., r10 e11:er quelle 1Pcommenfurabtle in potentia,pcrcbdc commciv forab1le IP potent1a,pono hauere & non hauere la proportfone co" me numero quadra~o-~ numero_quadFato., c: per queflq quelle che fono cornmenfurab1l.e m porentt:i pono e!fer & non effer commc:n., fur~b_1le IP ionghezza,perlaqualcofa quelle che fono incommenfu.. rab1h IP longhezza.non:c neceffario dfer,io incommenfurabili in potentia,ma quell~ cbefo?o incom!De~furabilc: in long~ezza po .. no ec1am m porenna effenncommenfurabile,maquellc chefonoiti commenfurabile in potentia neceffariamente fono etiam incommi furabile in longhezza, perche fe feranno commenfurabilc in Ion"' ghe_zza(per l'aduerfario )feranno anchora in potenda commenfu.," rab1le,& fono flate fuppo!l:e im;ommenfi:atabile chel~ 11ga qofa ab/ ·1.forda, ad~nque quel le linee c he fono incommenfurabile iq pocetll' t1a,necellaaamente fono etiam ineommenfurabile in longlic:=.a,, Lemma. , I 0 " r 9 Eti~le cofe Arithtnetice(per lauigeli!lla quinta del ottal!o)ell~ to d1~o!l:rato,cbe li·numeri fupc:rliciali fimili fra loro banno prof port1one come numero qi:iadraco ;l numero qua~raro, ~ c~c: It dui nu men fra loro_ haueranno proponi9necome DD,lllj:f(l'l,U~draro:11 · numero ,quadraro.detti oumeri fono.(u pf;tltciali/1niili,4:t qudl:e c;p fe e mamfe~o che li 1:1ume~i fuperliciali dilfunili_ci9f; q:udlicb,; ~9' bano h latt propomonah,non,banno, pro,porttonc,comc; liumc:rq qua~ratoa nu,meroqu_adraro,percbefe- ha1.1c:ranotal propor~io~ _fCt I aduerfano,quelli. foranno fuperliciaJi limjli,laq11al~ofa .D.!>D ~ luppone,adoaque Ii num.eri fupc,liciali diffimiti~fra loro non~ 00 proporcione come numero quadrato.a numeto 'i~aco. ,, s C~XVII I , |