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Show c·' Id b f 'r ,, l l 'lBR ·(:) .,. In longhena a!fdpque le n,eceflarlo( pe~ la ditflnidone delJHei fpeci e di blno mil)che.a,&,b,ftano blnomii dun a medeftma fpecle,Ma fe la llnea.b.communl ca coo el blnomio,a.folamente in potenria , fera etiam la linca,b.binomioma el non enecelfat!o eller de quella mrdelima fpecie. lmmo le impn!libile che am/ ·biduo!infteme cadano (0110 la prima fpecie di binomll,ouer fotro alla feconda ' quar,ta ouer quinta. M• eglie ben necelTarlo che ambidul cadauo Cotto alle pri mitre ouer alll tre vlridii,perche le lmpo!libile uno de quelli eller In alcuna del le tre prime fpede,& l'altro in alcuna delle tre vltime, perche conciolia che, a, communkhi con,b,folamente in porentia anchora.c.con,e.&,d.con,f, commu1 nlcara folamente in potentia (per la decima quarta) ,donque Ce l'una o l'alrra deile due Unee,c,lli:,d.feranno rationale in longhezza,la fua comparata delle Iii nee,e,&,f,non Cera i-arionale in longhe:z1,Adonque none poffibile che.a,&, b, cadcno infieme Cotto alcuna de quellefpecie bin om ii in lequale l'una dclle due portioni dd binomio e rationale in longhez:a.& que!k fpecle fono la prim a e la feconda e la quana ela quinra & perche(per la decima frll:a)le due linee.c,&:, e,inftemefona piu potente delle due llnee,d,&,f,in Ii quadrati de due linee a fe communlcamiouer incommunkanti!nlonghezzae neceffario che ambiduili binomii,a.&,b,infteme cadeno fono le tre prime fpecie de binomii ouer infier me Cotto ie tre vltime(per la dilflnidone di effe fpecie & la linea,b. che ru dubiti e{!er binomio,perche conciofia che.c.&, e,fiano communicante in porentia fola mente,ftmilmente anchora,d.&,f,&.c,&.d,liano rationale folameme in perm tiacommunica11te el fe conuenze,e,(lr,e,f,dler ratiouali folamente in porenria cQmmunicante lequale perche communicano in longhezza fi come nelle due,c . &,d,proponionale a queile effe indubitatamentecomponeno binomio ( per la. trigefima'quinta)de qucllo, . · · ' Theorema,xlix, Propo!idondxvi. ~ Ognilinea commenfurabileo all'una o all' altra ddle himedialee[ 61fe conuence de necelfaa e!fer bimedial focco la medelima f pecie. ·, C. ·Ommuu!cando a!cuna linea oall'tina ol'altra delle due bimediale ouero, in longl!b:a ouer in potentia,quello che detto ha in fe verita, Hor Ila le due linee communicame,a,&.~.u, qua! ft voglia di preditti duoi modi. & fia.a, lo bimedial primo ottero ii fecoildd.Dico che eriam,b,e b!medial primo ouer fe condo ft come Cera.a,perche diuifo lo bimedlal, a. in le fue porrioni bimediale dille quale e compoll:a(per la trigefim~ rell:a & trigeftma fenima)lequaleftano c,&,d.diuif;, anchora la,b,in,e,&.f.fecondo 11 proportlonedella,c.~)la,d.( col 1 l me in(egna la duodecima de! fell:o)& poll:a la fuperncie .g.concenura forro della =-•· . .,. . -..:·'. - 1 c.& della.d,& la fnperficie.K,comeouta Cotto della.e,&,f,& poll:o lo quadrato,h ; ,,. della,d,&,l,della,f,(per la cooglonra ~.euerfa & pernu;tara proporrionalira)fe/ . ra Ii.come inJa premeffa della,c,alla,e,& della,d,al!a,.f.ft come dell a. a ,alla. •, adonque(per la poftdone)!icome,a,&,b.ftincommunicanti,o ftaquell:o in Ion t ' - ~ ghezza queriii potentla cofi,c.&.e,e anchor,d,&,f,feranno,ftmilmente commu nicantl Ill• perche,c.&,d,fo.no medfale folamente jn .potemia com111unicant<\ feguira(per.la,? 5,)che,e,.&.f.llan.etlam medial&(per lad~c!Jnaquarra)folame r, in' potentla co111muokanJi,copciofia che ,elTe fiano propQ!"rionale(p~r el Pk lupp.oftto)come,.:,al,d,& c.o11clolia ci)e (per la Rrima <W.fell:o )fta de).g,~\. h1 ft, come del.c.aL\!,ix,del.K,al,l,fi come del.e.al,f,del,g.il,h,(~ra ft comedel.K.ali, I,& premutatamente.def,g,al, K,ft.come del,h,a~l.adonque perche.h,e fO\Ulll!I nicanre al.l,l't1p.erocbe Ii duQi latide q11elli liqualifono,d,~f,commuqlcanoin, longhezH ~tel' in pote.oda.(econclo cJ,e.a,&,b, co111[1.Jtinic~no in 1'1111,0 ouer ii\ l'altto.feguira(pnJ,1,decima quana)che anch9ra.g.&,K1 ~o\l1munif,lnP fra 10; rotn6erueada.nque.K{erar~rlonale9μer mediate fi come {era, g• (per fa di!i•, llidone della lt1peditic fi.tlQQJl!c 011erGp~r l?,,v)gcfiiya qyb1ra) perch~. fola~,er~ · lnqumo Q EC I Ml() In queRo e dlfferenre el bl niedia! prime dal, b!media I (econ do enc le pordonl de! t,lm!dlal prlmo ( in !equate Vien diu!fo fecohd6 elftio'ltrmine)comeneno Iii per fide rationale,& quelle del bl medial fecondo media le,adonque fe. a, f~a bimedial primola fupernck, g,.(er 1 rationale· perla qualco(a.rriam la (upcrfit cle,K,e perp,b.fera etiam ~imecjial prim.o(11 la tfi!:"ftmaJrll:•l !11.• f~.•lga.binie, dial fecondo la fujlficie,g.fera mediate & ll quell:o eti:i. K. adonque, b,(per la trl gefima (ettima)[eca bimed!,le fecondo, perlaqualcofa e manifell:o el propoftro, A demoll:~ar el_medefimo al,tamente,alla lin~a ,.9,\:l,i:atl9nale.(f1J11Potlp,a, l'un o l'altro dt duo1 b1mediali & la,b,a fe communka11te in long~e,za,ouer In potef da)!ia aggionra la fuperficie,c,e.equale al qu~qmo de.a,& ra:1:g:~\1/lale •!'qua drato deJla,b,& le fupedicie,c,e.&,f,g.fera llJl!l. ~O.n)Alatlicarite,iml)ocbcJI qua, drari a quelle equali(liquali fono Ii quadrari dell~ li_nee.a,li<1b:) fonocq~uni,o, canti(dal prefuppofito)adonque(per,la.pr[<!la.del (ell:o & per la decima quar, ta di quell:o)\e due liiiee,d,e,&,e,g,e ne<:effatio •lf•r, communic;t~!e ,,&,p~r~hC:: Ce la,a.fera btmed!al prime la llnea,d,e,fera el feco11~0 blnomio,t per la t.ugefti ma)e pcro etiam la,e.g.fera.fecol1d9b/n,c;imio(11grJ.~ ,precedenre)perlaqualcofa lo lato terragonico delia fuper.fitie,f.g( elqual r,1/,)<,himedial primo(perla qu/n quageftma quarra)ma fe,a.fera bi medial fec9ndo .la l!nea.(l,e.fera blnomlo teN, zo(per lafezageftma.prkna)~ peco & ,la,e,g.~Jifn.omi9 rerzo(per-la,pr~ceden~ te)perla.qualcofa el lato'terragonlcp dell~1(upetlicie.f.g{& quello e la linea.b) !era bimedial fecondo,acjpnquee manif~{lqell:er!l v,ero quello che e propoll:o,, 'f h~,or~w.a, t, l;'~oP?.ijc,1.o.t,1~·IJ:vii~. };ogni linea communicance alla Hnea maggiote,e linea maggiore, ANchora quella(fe alcurli ·l!nea fera Jo.Jimmiicante in qua! mod,Hi voglla alla linea maggiore)fe verific•,hor fia.a,la Jfuea magglote,& lalinea, b, a quella communlcame in qual.modo ft voglla,Dlco che la,b.fera linea magglo, re,imperochediuifa.i',in quelle portloni dalle quale e compoll:a (per la rrigefil ma ottaua)Jequale Oano.c,&,d.& la.b.(fecondo·la prpportione de quelle )in, e, &.f.c\: poll:o che la,g,fia la fupertlcie conrenura fotto della.c,& della, d, & la, K, fotro della,e.&.f.ll<,m,6',(l,ftano Ii quadrati della,c,& detla,d.& Ii quadrari.n,o.: l,ddl•,e,&,della,f,kra del quadrato,m,al quadrato,h,fl come del quadrato,n,al quadrato,l. ( per la feconda parte delladecima ottaua, de! fell:o) & congionta,. mente del. m, &, h, al,:h, fi comedel,.n,&,l,al,l,&;pr.emutatanienre del.m.&.h, al.n,&,l.fera fi come del.h,aJ,l ,adonque perche,h,communica con,l,(impero~ che che,d.communica con,f,ouer in longheua ouer in potentia)ft come che.a communica con,b.!i:guita che ambiduoili quadrati,m,&, h, told lnfteme com/ 'municheno con ambiduoi Ii quadrati,n,&,l.toiti infteme, adonq;conciollache duoi primi rolti inlleme ftano ratlonale)per la trigeftma ottaua) etlam I! duil;I •tlmi !rranno anchora rationale(per la dilfinitlonc)& perche la fuperficie, K,e neceffarlo effer medlale ft comela,g,(per la vigeftll!a,qulnta)& le linee,'e,&. (, e!ler incommenfurabili ln p91enda fi•come la,r,&.d,(per la decima quarra) el ..!rconclu<!e(per la rrigeftma ottaua)la linea,b;effer la,Unea laquale e d~t~,mag gloreche el propoliro, A demoll:rare elmedemo aln:amente,conciofia che,a,fta la llnea maggiore,alla qual communicala linea, b. ouer effendo quefiain Ion, • ghezza ouer tn p~mttia 10)1• vna linea r~1(011a~e(laqual fta,c.d •. ) fta agiomo a quella bfuperficie,c.e,equale al quadrato aella Unea,a,& dapo1 ta.'f, g, equale al quadrato della Unea,b.adonqu.e conciofia che Ii quadrati delte due 1/nee,a.5' ' b.fiano communicanli(pet el'prefuppoftto )la {11perficie,c,e,fera comm11nlcan• te alla fupediclc,f,g,e pero(per la pri<}iadel fell:o5' per.\a pti"!a pa rte dclla de ''. clma quarra de que(!o )etiam la Unea,d,e,alla linea,e,g.m.loognezza, & pdche (ptr lafcxageftma fecorfda )la linea,d,e.e bi,;1omio quarto,a11chora(per la {exa, ; gefima' qulnta)\dinea;e;g.fera binomio quarto,adpnq; (per la.quinquageftma fella)la llnea.b,potente inlafu¢jcle,f,g,e la Unea•maggiq~e c/l~el~l,pa~lit~. · CLX [DJ d ' • Jlj g _f :----"--1 m g b k |