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Show - I - 1 L 'I B :R.:·o ' fn pomiifa)curi-ohina ratlon2le In longhczza & l•2ltra 'folammte rn ponren, da, vcro e che non pofl'ono dftr ambedue rarlonale In longhrz:a perchc re riano commmwrablle In detta longhezu che ftrla contra if prrfuppollro ,dco&cnm. Problem~. y, Propolition~.xxii. !§'Puoi:emotruouare due linee rationale folamente in potentfa com ... ,omunicante, deUe qtsale la piu longha poffi piu della piu corca qq:1nro e.il qu;i(jraro d'una linea a fe incommenfurabile in Ion; ghezza, ,,, ~ ~N'.q;tR~ anchora rimanga la nmlellma difpollrlone & Ii medellmi prdup1 -;I, polirl chefono In la precedenre,mutato.folamente queRo che la propotcionc del 11umero,d.e,a 'nluno di duoi numeri-d,f,lx,f, e. Ii, Ii come de numero qua, duro a numero quadraro,lx queRo vim fatto facilmenre poRo,d.e, qual ft vo1 gila numero quadraro diul(o in duoi numeri non quadrati come fe,d,e.lia nuo ae &,d,f.fei Dc,f,e,ue argumenrando come per auanri eccerro folamente queRo dma.b.&,a.c,fono incommenfurabiliin longhezza ( per la vlrlm1 parre della nona propolirione) & e da raper che-lc \Jue Unee che infegnanq,di truouarc gudla<'tx la premelTa componp10 el binomio, l'< la minorc de quelle, tagliata dall;nrtaggiore quella che rimane e dma rellduo,anchora nota che le \inee ca rlonalc folamenrc in porcnria communicant< ponno effer vna rationale llt l'al; uairratlonale, Ii come Ii latl retragonici de due foperficle de Ile quale vna Ii• "l'incidnquc piedi & l'alcra vintiquacrro fono ration~li in petentia folamente comq10nicante, perche el lato della prima fuperficic e cinque & el lato della CecoQda non vien nu.mcrato, .Et ponno effer ambedue iruuonale come Ii lad retragolllcl delle due fuperlicie delle quale vna fia vlnriquattto pied! & l'alrra :z,,J?cheel,lato ae dell'una ne dell'altra uien numcrato llt fono incommenforai bik In longhezza ( per la vltima pa rec dell a nona ):it fem defideraffe anchora de rrouarc ·piu de due lince rational• in potencia folamenre communicanre dellc quale vnafia piu potenre de qi,ala Ii voglia del[e altre inel quadrato d'u na Unea non communlcanre confego in longhezza fia rolro t:I numero clquai lrpoffa efter cofidiui(o in piu parri chcla proporrione de quello aniuna dell k fue partl ne dalcuna parre a alcuna delle altre,lia come de numero quadra roa numero quadrato come vinricinque elqual cul poi diuidere in duoi e vin lfirc anchor a in cinque & vinri &fimllmenre in fenc c decl 0110 & el ptoceffo fia d •m edellmo che llato fatro in lapremel1a, t''. ,~ ~ ( lcmma,ouero alfumptfonr~ ~ La linea potente in una arei irrationalc eirrationalc, rfilErdltfi: la lirica,a,j,olln vna ma lrrarioriale doe ehe 'ttuel quadmci gual \F, vicn fatro della Unea.a,6a equale a vna area 0iicr fuperlicic frrarionalc,dlco chc la lnca,ia.c lrrarlona.le,l!ehe ft poflibil fu!le(J? ladutrfuio )che la dicta Linea i. Mlllk.radoaL,,anchorad il,draio chc (u[cf~ciodcUaUca.a,fcrla 11 la dtffln1rloe . - rationale DEC I Mo: rationale,&( dal grefqppofi19~ iRalfQ11ale1ido.o.q1111 ~Dor, ,a.c fmdonalcrt# guira adonque il propolico, , , C . i .J r. 1i l ' tr l .J ,al u..:J' ~IT~~d9ctore, 1 • I ,,; . i\ uhr-u'I Q VeRo lemma ouero altumptllme Ce ritroua (olanieitre in la !ecorida tn I dottione,elquale lemma.dirol)(lra qqello che fl! difft~iflc in la vltima· dif finuione di,queRo decimo Ii bro, cioe che la _. linea poten~e m vna fu_l'e~ficieirl rarlonale e 1rratio11ale perla<Jualco(a fe!lulna la dc11a gltima ®finjuone e{Jerc luperffua, Theote'1)_a,tv~i. Prop!)fitioiie,xxiii, -Ogni fnperfide che contengario due linec rationale: 'folamente po .!! renrialmenre communicanre,et e' irrarionale, c' detta fup~rficic me: 21 diale & lofoo laro tctragonico 1 cioe qucUo lato·chc pol in q,uclla, e' irr~tionale & c' derto linea.mcdiale, Siano le duellnee.a,b,b.c,(conlfnenc.da (up.~rficle •. a,c.~ratlonali.(olament~ in poienrln communicanre,lequale q~ilmence fe trouane dalla premefta Iii dalfa auartri la premelh e manifelto. D1co la fuperficie.a,c.efl'erirrationale, Er per din10Rrar queRo fia,c,d,quadmo de,b,c,lll: Jera rationale(per el prefuppl firo)lmperoche la llnea.b.c.er.ttio'}ale hrpote~ria,& perch.e ( pet la prima d;, fell:o)la proporrione del,a,c,al,c.d.e fi come della.a,b,allaf.d,& la,a,b,non co munica con la,b,d.perche ( dal prefuppolito) la non communlcacon1la!ua cl uale(laqua[e e,b,c,)(eguica(per la feconda parre dell.I d_eclmtquuta),che etl• im.a,c.non comunichi con,c.d,11laqualcofa(per la dilfi~1rjone )la fuperficie,a_.c cirrat!orateactonque elluo lato rerragonlco(per lo '°P.fafcricro lemma) 5111a , tionale a: ·queRatupecficie ech!am~ta fuperficiemed/a\ep<;tche e nel mllezd.ol';;, 0 ro' otrionale fra le duit fuperfide rarionale,cioe fra Ii quadrall de e ue ~e~ ch~ contengono elta (uperficie,&la lipea p~renrein efla fuperfide e deua II nea mediale perche anchoca lei e nel mezzo loco proportlonale fra due llnee rationale-corymuniqanti folamente in porentla, & quelle due Unee fono ~ ~d. dell a decra fuperficie & quelto e 'luello che volemo, , , ' f:ll , • -r, r, Se feranno due linec: rc:tte, Ii come e la priqia all a fcconda, colic:' CXLIIII • & ·a -----,1 :iqucllo chc uien fatco delta_ prima a' quello chc conten_uto ~o,tt~ •• allcd11eretteli11ce, · ' ' · · · . .', .:·" , ~eI f Stano le duerettel!n.ee,f.C':e,g;oicocheficomee,f,e1al,e;g. ,coli ellqua'draio I , ; · de,f,e,alb fupcrficlecontrnura focco da•f,e,. ~ f• g, & per ~imollrarequefto I . Ila defotirro per la 'luadi-agcfima fella de! primo el quadmo,d.f, & ~a comp ii 1, ro.d.g.adonque perche Ii come e ,f,e,al,e.g,cofi e,f,d,al,d,g.lll:,!§• !.I JU1!a~ 1 · perficie concenuta dal,f,e,°',e,g1adonque Ii cofoe e,f,e,al,e, t 1 equei O ,- !. d , , vien farco deJ,f.e,a quelloche conrenutofo~o del,f,e,&,e,g. 1miln1eptf anti;'· ' • ra fi come queUo che- cont~nuco lotto de.g,e;&,el1a' iuello che vi~ a~o., • 1 ri,llioe fi ·cume,g,f,al,d.fo\:ofie,e,g.al..:.f, · · -···· ' |