OCR Text |
Show 41 ,4 1'23‘ EVCLIDIS ELEMENTORVM :oWIIMj-FJW' PROPORTIONES. fed pcf prece‘déntcm , cubica {ii-perficies ad oétahedri {upcrfi'cf‘cm rabcad triangulum d c E compo nitur ex ration: a had ipfam c g. 8: Ci: frfquitertia ' eft Potentialitcr. chuitur ergo Vt cubira {upcrficis ad oé‘tahcdrifilpcrhcicm , fit ficut pyramidis latus ad oéhludri latus. rarionc b (2. ad ipfam a g. Ergo ratio dupla quadratia '0 c. aditrian- gufum d c Ecomponcturcx iduplis rationibus carundcm. & quoniam quod cf]: ProPofitum. 18 i S l cvr £11 0111 flipcrficics ad oétahedri fitpcrficiem , {ic cubi {01L du'm ad oétahg‘dri iolidum in cadem i'phazm . Exeant cnim a ccnrro fphxrr ad iiiigulos folidorum angulos 1cmidiamctri. Sic cnim culms {Coioitur in {ex pyramidcs quadratas : ochiicdruin vcrum in 0610 2,7. quod fucrat dcmonflrandum . Pyramidcs triangdlas. Eruntduc pcr‘pcndicularcs a centre ad bafcs tam i11arum,qr.1i1m harum pyrarnidlim,p6r 9""'1mius,vel per coro1larium I 1' huius, in uicem mqualcs, Intclliga-n mr itaquc qcminaz pyramidcg {11b fafiigio diéta: pcrpmdiculnris ambx. (firarm‘n vna a.cuius baiis {it omnibus cubi bafibus osqualis. altc'ra b. cuius bafis fit omnibus oftahcdri ba Iii} us xquaiis..El‘1EC1uc per uxtam vn-decimi pvramis a. mqualis cubo. pyramis vm‘, b. aqualfs 0&ahedro . Et qiioniam fub eodcm funr Etftigio , crir pyramis :1. ad pyramidcm b. ficut bafis :1. ad balim b. (kurc & cu'oi folidum ad oétahedrifolidum crit , ficut cubi {upcrficicsr ab cubi fuperficicm . Qu'Od fuit demonflrandum . v Maniflflum :11 ergo, quod cubi {olid'um ad oéhlhcdri folidum CFC, fic pyramidis latus ad orihhcdri laws in vna {Phxm concentorum, hoc c1} poten rialirer Iéfqiiitcrtilun19 dupla cius,quam habcr a bad ipfam cgfuigficut Shad 3.120(«11dicut 64.361 24.Dupla aunm cius,quam habct b cad ipfam dg.filit1iCut 8. 1d 9. hoc citiiait 24..ad 27. Idco, per mqucm proportimr, m, dripia cius,quam habetquadrarum a b cad triangulum d c Ecr*it1icut64.ad . DVP L A , dccemc'luc- vicefimas {cprimas {itpcrpartiés ratio 611, ficut rrtio cubica: 17355 ad oéhhcdricam i'vafim- : : a ‘ A Pyramidis fuPcrficicm in Cadrm fphgra. Nam,per 16"" huiusfoiqui- i i . Y I duplrca radolidorum in cadé fphmm loearomm. £110 a b c. quadratum cubi.d c {triangulum can; hr-dri cinfdcm klwrmfiio, q; ratio 64.;id 2,7.dupla cl't ciiis,qua habc: quadramm a‘ b 0. ad triangulum d c E Cadat emm d 5;. ad baiim c f: PCI‘PCI1L11C‘.11.11‘19.EF{11101111111 quadratum a b C.& trian'ztqum d 0 {per 1 2‘" huius , incodcm circu10 infcribunmr : ideo latiis a 1).:1C11'P'i‘l1m d c.Pot€nt1;‘.11tCl‘ 61'1": filbfi‘lqunhcrum , hoe c057, ficut 8. ad 12 . PC: quindcamam pmmilli 85 "(1‘10an wrollaria. Scd d czadipiam d g. Per prrmam lruius, ficut 1 2.;1d 9.» Pt]: xqmm ergo Proportipnen} a E, Vci 3;» c..ad 1131:1111 d g, potcntialitcr c d/\ criglicut 3.11131 «,LItcm dc.adi13{9.m ' 2g. Rotcntizilitcrcfl, iicur- i 2. ad 5.. Ruri'is ergo pct gqux proportic-né, a b. ad 11) am c gpotvnt alitcr rrit, fig"; 8. ad} ..vcrmn. ratiolquadran'i srsckvirsrxru ratio dupla cfl cius, quam habct cubicabafis ad 20 pyramidis bafim in eadcm {phxra . Pater. Nam pct pra‘miflam, ratio 64, ad 2.7. dupla €11: eius , quam habctmbica bafis ad odahc. dricam bafim. Item per 1c" huius , ratio 9.ad 16. hoc cfi ratio 2.7. ad 48. dupla eff cius , quam 11:1th otlnhcdrica bafis ad pyramidis balim. Per :cquam ergo proportioncrii, ratio dupla eius, quam 111th Cubica bafis ad pyramidis. bafim,eft {icut 64. ad +8. agideo 11cut4..ad 5. hoc cffd‘chuitcrtiaficut proponitur.Hoc idcm PoIIcs con cludcrc larcrum rationcs componcndo,1icutin prmccdenti. Him: manifcfium ci‘t, quod Cubica balis ad pyramidis baiim cfl' ficut tota cubi fiipcrficics ad toram oftahcdrifiipcrficicm . Er ficuc folidum ad folidum. «Sc iicutpyramidis larus ad ocftahedri latus. confiat cnim hoc cx Prazfenti 16". 17' .& 18‘ . przmiflis. T It 1 p L A ratio dupla €11: cius , qunm 113th cubic; fuperficics ad 2: terria ratio, 1cilicct 1 2.9.419. dupla cfi cius, quam habct Cubica {upcrv ficies ad oétahedricam111pcrficicmlrcmpcrcorollarium. 10'. ratio 9. 'ad 4.dupla €11: eius, quam 1121:.CE061'311-Ct11'1111PCFfiFICS ad Pyramids fupcrficiem . Pcr cgquam ergo proportional} , ratro 12. ad 4.. hoo cf} tn'pla, dupla €11 cius, quam haivcr cubica mpcrficws ad Pyramidis firpcrficiem. . . @od 31‘: ptopoiitum. ‘ C V B v s triplus eff ad Pyramid-cm 1n eadcm fphgra dcfcrrptam. u Nam,per 18"" 1111ius,ratio 1C1qt11tc1‘tm,110€ 61136 ad Iz7.dupla‘ :11 curs, quam habet Cub us ad 0&ahcdrum. Itcm,pcr vndccrmam'hums,ratio 27,341 4-dup1a CR cius,quam habct o6tahtdrum adpyramidcm. Ergo, per Qquam proportioncm , ratio 3 6.ad 4. dupla c1: nus , quam Ember Cubus ad pyramidcm . Scd hgc cadcm ratio 36. ad 4.}?crii" carom, an 1'71""?1LLIU , kcur dup1a SR ciui, quam habct 6 ad 2. Ergo Cub us 6.ad z hoc 611; Hart 5.:1d r.v1dchccttr1p1us. ficutpropcmtur dcmon. " flrandum . Id idcm Poteff alitcr oficndi . Erc&a emm pyramidc fliper bafim euki ad altitudincm Cubi : hxc Pyramis quadrata crit atquahs ultra- hcdro. Sed cubus ad hanc pyramidcm triplus per 7‘ . u . Ergciiucm I cu ‘us |